Perkembangan Ilmu Geometri

PERKEMBANGAN ILMU GEOMETRI

Definisi Geometri

Kata geometri berasal dari bahasa Yunani (greek) yang berarti ukuran bumi. Maksudnya mencakup mengukur segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri kuno sebagian dimulai dari pengukuran praktis yang diperlukan untuk pertanian orang – orang Babylonia dan Mesir. Kemudian geometri orang Mesir dan Babyloni ini diperluas untuk perhitungan panjang ruas garis, luas dan volume. Menurut kamus Bahasa Indonesia, “Geometri” merupakan cabang matematika yang menerangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang, dan ruang; atau geometri juga berarti ilmu ukur.

Permulaan Geometri

Pada awalnya geometri yang lahir dan berkembang di Mesir dan Babilonia merupakan sebuah hasil dari keinginan dan harapan para pemimpin pemerintahan dan agama pada masa itu. Hal ini dimaksudkan untuk bisa mendirikan bangunan yang kokoh dan besar. Teknik-teknik geometri yang berkembang pada masa itu pada umumnya masih kasar dan bersifat intuitif, akan tetapi cukup akurat dan dapat memenuhi kebutuhan perhitungan. Berbagai fakta tentang teknik-teknik geometri saat itu termuat dalam Ahmes Papirus yang ditulis lebih kurang tahun 1650 SM dan ditemukan pada abad ke-9. Dalam Papirus ini terdapat formula tentang perhitungan luas daerah suatu persegipanjang, segitiga siku-siku, trapesium yang mempunyai kaki tegak lurus dengan alasnya, serta formula tentang pendekatan perhitungan luas lingkaran.

Contoh tekhnik geometri yang termuat dalam Ahmes Papirus :

Matematikawan yang pertama kali tidak puas terhadap metode yang didasari semata-mata pada pengalaman adalah Thales (640 – 546 SM). Sehingga masyarakat sekarang menghargai Thales sebagai orang yang selalu berkata ”Buktikan itu!” dan bahkan ia selalau melakukan pembuktian tersebut (Wakyudin, 2004: 137).

Sepeninggal Thales muncullah Pythagoras (582 – 507 SM) berikut pengikutnya yang dikenal dengan sebutan Pythagorean melanjutkan langkah Thales. Para Pythagorean menggunakan metode pembuktian untuk membuktikan Teorema Pythagoras dan teorema-teorema jumlah sudut dalam suatu poligon, sifat-sifat dari garis-garis yang sejajar, teorema tentang jumlah-jumlah yang tidak dapat diperbandingkan, serta teorema tentang lima bangun padat beraturan.Salah satu teorema pythagoras yang paling terkenal ialah tentang sebuah segitiga siku-siku. dalam sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miringnya akan sama dengan jumlah kuadrat dari 2 sisi yang lain. Penulisan teorema Pythagoras pada setiap sisi segitiga siku-siku dapat dituliskan sebagai berikut:  Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C.

1.	Jika sisi a dan b diketahui , maka sisi c dapat dihitung dengan rumus  :   c2   =   a2   +    b2
2.	Jika sisi b dan c diketahui , maka sisi a dapat dihitung dengan rumus  :   a2   =   c2   -    b2
3.	Jika sisi a dan c diketahui , maka sisi b dapat dihitung dengan rumus  :   b2   =   c2   -    a2

Hasil kerja dan prinsip Thales telah menandai awal dari sebuah era kemajuan matematika yang mengembangkan pembuktian deduktif sebagai alasan logis yang dapat diterima. Pembuktian deduktif diperlukan untuk menurunkan teorema dari postulat dan selanjutnya untuk disusun pernyataan baru yang logis. Pengembangan pembuktian deduktif mencapai puncaknya dengan lahirnya buku karya Euclid yang diberi judul Element.

Geometri Euclide adalah  sistem aksiomatik , di mana semua teorema  ("pernyataan benar")  berasal dari sejumlah kecil aksioma . Menjelang awal buku pertama dari Elemen, Euclid memberikan lima postulat(aksioma) untuk pesawat geometri , menyatakan dalam hal konstruksi (sebagaimana diterjemahkan oleh Thomas Heath):

1.     "Untuk menggambar garis lurus dari setiap titik ke titik apapun. "

2. "Untuk menghasilkan [memperluas] sebuah garis lurus yang terbatas terus menerus dalam garis lurus. "

3.     "Untuk menggambarkan lingkaran dengan pusat dan jarak [radius]. "

4.     "untuk semua sudut yang tepat sama dengan satu sama lain."

5.      jika garis lurus jatuh di dua jalur lurus membuat sudut interior pada sisi yang sama kurang dari dua sudut yang tepat, dua garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu adalah sudut kurang dari dua sudut yang tepat. "

Meskipun pernyataan Euclid dari postulat hanya secara eksplisit menegaskan keberadaan konstruksi.

Elements juga memasukkan lima "notasi biasa":

1.     Hal-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama satu dengan lainnya.

2.     Jika sesuatu yang sama ditambahkan ke sama, maka keutuhan adalah sama.

3.     Jika sesuatu yang sama dikurangkan dari sama, maka sisanya adalah sama.

4.     Hal-hal yang bertepatan dengan satu sama lain sama satu sama lain.

5.     Keseluruhan lebih besar daripada bagian.

Paralel postulat Untuk nenek moyang, paralel  tampak kurang jelas mendalilkan dari yang lain. Euclid sendiri tampaknya telah dianggap sebagai penemu yang secara kualitatif berbeda dari yang lain, sebagaimana dibuktikan oleh organisasi dari Elemen: 28 yang pertama ia menyajikan proposisi mereka yang dapat dibuktikan tanpa itu.

Aksioma alternatif dapat dirumuskan sama dengan konsekuensi logis sebagai paralel dalil. Misalnya aksioma Playfair 's menyatakan: Dalam pesawat, melalui titik tidak pada garis lurus yang diberikan, paling banyak satu baris dapat ditarik bahwa tidak pernah memenuhi garis yang diberikan.

Konsep dalam geometri Euclid tetap tak tertandingi sampai awal abad ke-19. Pada saat itu, bentuk-bentuk geometri mulai muncul, yang disebut geometri non-Euclide. Itu tidak lagi diasumsikan bahwa geometri Euclid dapat digunakan untuk menggambarkan semua ruang fisik.

Element menjadi sebuah karya yang maha penting dalam sejarah masyarakat dunia yang kebanyakan dari pekerjaan itu bersifat oroginal, sebagai metode deduktif dengan mendemonstrasikan sebagaian besar pengetahuan yang diperlukan melalui penalaran. Teorema ke-5 dalam buku ini cukup dikenal, yaitu sudut alas dalam sebuah segitiga samakaki (isosceles) adalah kongruen. Metode yang sekarang lebih sering digunakan untuk membuktikan teorema ini memerlukan konstrukti suatu garis bagi sudut melalui titik sudutnya.

Dalam buku Element, Euclid menulis banyak pembuktian dari teori-teori yang sudah terkenal. Karya Euclid sangat berpengaruh sampai saat ini sehingga dalam geometri untuk garis, titik, bentuk, dan bidang-bidang namanya digunakan sebagai ”geometri Euclid”.Demikian selanjutnya, selama lebih kurang empat abad terakhir Element telah mengalami kritikan dan pujian hingga lambat laun lebih disempurnakan.

Perkembangan ilmu Geometri Abad 17

Pada awal abad 17, ada dua perkembangan penting dalam geometri. Yang pertama adalah penciptaan geometri analitik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh René Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (1601-1665). Ini adalah prekursor diperlukan untuk pengembangan kalkulus dan ilmu kuantitatif yang tepat dari fisika. Gambar bukan kedua dari periode ini adalah studi sistematis geometri proyektif oleh Girard Desargues (1591-1661). Projective geometri adalah geometri tanpa pengukuran atau garis paralel, hanya studi tentang bagaimana poin terkait satu sama lain.

Perkembangan Geometri Abad  19

Awal abad ke-19 banyak memunculkan langkah-langkah yang menentukan dalam penciptaan Geometri non-Euclid.  Beberapa teori Geometri Non Euclid yaitu :

1.   Geometri Riemann  (juga disebut geometri elips atau geometri bola ):   Sebuah geometri non-Euclide menggunakan sebagai yang paralel mendalilkan pernyataan setara dengan berikut:

Jika l adalah garis apapun dan P adalah titik tidak pada l, maka tidak ada garis melalui P yang sejajar dengan l.

Geometri Riemann adalah nama untuk matematikawan Jerman, Bernhard Riemann, yang pada tahun 1889 menemukan kembali karya Girolamo Saccheri (Italia) menunjukkan kelemahan tertentu dalam Geometri Euclidean.

Geometri Riemann adalah studi tentang permukaan melengkung  . Pertimbangkan apa yang akan terjadi jika bukan bekerja pada bagian datar Euclide kertas, bekerja pada permukaan melengkung, seperti bola. Studi tentang Geometri Riemann memiliki koneksi langsung ke keberadaan kita sehari-hari karena kita hidup pada permukaan melengkung disebut planet Bumi. 

	Apa efek tidak bekerja pada sebuah bola, atau ruang melengkung, terhadap apa yang di anggap sebagai kebenaran geometris?  Dalam ruang melengkung, jumlah sudut segitiga setiap saat selalu lebih besar dari 180 °. Pada bola , tidak ada garis lurus. Segera setelah mulai menggambar garis lurus, maka kurva pada bola.
Dalam ruang melengkung, jarak terpendek antara dua titik (disebut geodesik ) tidak unik. Sebagai contoh, ada banyak geodesics antara utara dan kutub selatan Bumi (garis bujur) yang tidak sejajar karena mereka berpotongan di kutub.  Dalam ruang melengkung, konsep tegak lurus terhadap garis dapat diilustrasikan seperti terlihat pada gambar di sebelah kanan.

2.  Geometri hiperbolik ( juga disebut pelana geometri atau geometri Lobachevskian):   Sebuah geometri non-Euclide menggunakan sebagai yang paralel mendalilkan pernyataan setara dengan berikut:

Jika  l adalah garis apapun dan P adalah titik tidak pada l , maka ada setidaknya dua baris melalui P yang sejajar dengan l .

Lobachevskian Geometri adalah nama untuk matematika Rusia, Nicholas Lobachevsky, yang, seperti Riemann, ditindaklanjuti studi Geometri non-Euclide.

Geometri hiperbolik adalah studi dari pelana ruang berbentuk .Pertimbangkan apa yang akan terjadi jika bukan bekerja pada bagian datar Euclidean kertas, bekerja pada permukaan melengkung berbentuk seperti permukaan luar pelana atau keripik kentang Pringle.

Tidak seperti Geometri Riemann, lebih sulit untuk melihat aplikasi praktis Geometri hiperbolik. geometri hiperbolik, bagaimanapun, memiliki aplikasi untuk daerah-daerah tertentu ilmu seperti prediksi orbit benda dalam bidang gradational intens, perjalanan ruang angkasa dan astronomi.Einstein menyatakan bahwa ruang melengkung dan teori relativitas umum menggunakan geometri hiperbolik.

Apa efek tidak bekerja pada permukaan berbentuk pelana terhadap apa yang kita anggap sebagai kebenaran geometris?  Dalam geometri hiperbolik, jumlah sudut segitiga adalah kurang dari 180 °. Dalam geometri hiperbolik, segitiga dengan sudut yang sama memiliki wilayah yang sama.

Tidak ada segitiga yang sama dalam geometri hiperbolik.
Dalam ruang hiperbolik, konsep tegak lurus terhadap garis dapat diilustrasikan seperti terlihat pada gambar di sebelah kanan.
Garis dapat ditarik hiperbolis di ruang yang sejajar (tidak berpotongan). Sebenarnya, banyak baris dapat ditarik sejajar dengan garis yang diketahui melalui suatu titik tertentu.

Grafis bentuk pelana hiperbolik disebut paraboloid hiperbolik , seperti yang terlihat di sebelah kanan.

Perkembangan Geometri Abad 20

Sejak Amerika Serikat melakukan pembaharuan pembelajaran tahun 1958 dikarenakan keberhasilan Uni Soviet meluncurkan pesawat ruang angkasa Sputnik tahun 1957 matematika tradisional di Amerika Serikat diganti dengan New Math (Matematika Modern). Walaupun sebenarnya gerakan Matematika Modern di Amerika Serikat sudah dimulai sejak tahun 1955. Perubahan dari matematika tradisional menjadi Matematika Modern termasuk geometri lebih menekankan kepada pembenahan dalam notasi, metodologi pembelajaran dan penambahan beberapa topik, serta himpunan sebagai alat untuk mempelajari konsep-konsep geometri. Konsep-konsep geometri yang dibenahi diantaranya adalah konsep dasar seperti sinar garis, ruas garis, dan sudut. Sinar garis, ruas garis, dan sudut adalah konsep-konsep yang dikembangkan dari titik dan garis. Sinar garis, ruas garis, dan sudut adalah unsur-unsur yang mempunyai definisi dikembangan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan yaitu titik dan garis. Seperti yang telah dikemukakan di kegiatan belajar 1 bahwa dalam struktur geometri dari unsur yang tidak didefinisikan dikembangkan menjadi unsur yang didefinisikan, aksioma/postulat, dan teorema. Diantara unsur-unsur itu saling sinergi satu dengan yang lain dan akhirnya ditemukan hal-hal baru baik unsur-unsur yang tidak didefinisikan, unsur-unsur yang didefinisikan, aksioma/postulat, atau teorema-teorema baru. Proses ini yang membuat matematika dan cabang-cabangnya terus berkembang.

1. Sinar Garis

Sebuah titik terletak pada sebuah garis maka titik tersebut akan membagi himpunan titik pada garis menjadi tiga himpunan titik yang saling lepas (disjoint). Apabila sebuah titik terletak pada sebuah garis maka titik tersebut membagi garis menjadi dua himpunan titik pada setengah garis.

Berikut gambar dua setegah garis yang dipotong oleh sebuah titik P.

                                                                             P                                                             ℓ

                                                  P• 

Gabungan antara sebuah titik dengan himpunan titik-titik setengah garis dinamakan sinar garis. Sinar garis adalah bagian dari garis yang memanjang ke satu arah dengan panjang tidak terhingga.  Memodelkan sebuah sinar garis dapat dilakukan seperti gambar-gambar di atas.Dimulai dari sebuah titik yang disebut titik pangkal dan memanjang ke satu arah. Memberi nama sebuah sinar garis biasanya menggunakan dua huruf kapital. Huruf pertama diletakan pada pangkal sinar garis, dan huruf ke dua diletakan pada salah satu titik di bagian yang memanjang dari sinar tersebut. Berikut sinar garis dengan nama -namanya.

2. Ruas Garis

Apabila sinar garis adalah gabungan antara satu titik dengan himpunan titik-titik pada setengah garis, maka ruas garis adalah bagian dari setengah garis. Ruas garis adalah himpunan titik yang memanjang dengan posisi lurus dan dibatasi oleh dua buah titik.

Berikut gambar ruas garis.

 

Menamai sebuah ruas garis menggunakan dua huruf besar yang diletakan pada ujung ujung ruas garis tersebut. Berikut gambar dan nama ruas garis-ruas garis tersebut.

 

Gambar di atas adalah Ruas garis AB ditulis dengan AB

3. Sudut

Sebuah sudut adalah gabungan dua buah sinar tidak kolinier (sinar-sinar itu tidak terletak pada sebuah garis) yang bersekutu pada pangkalnya. Berikut gambar-gambar

sudut

 

Gambar di sebelah kanan adalah sudut yang dibentuk oleh dua buah sinar garis yang

bersekutu pada pangkal-pangkal sinar garis tersebut.

Sudut yang terbentuk dari dua buah sinar garis adalah rentangan terkecil dan bukan

rentangan besarnya. Berikut adalah sudut yang terbentuk dari gabungan dua sinar garis

dimaksud :

 

Memberi nama sebuah sudut dapat dilakukan dengan menggunakan satu huruf misalnya α, β, atau γ yang diletakan di daerah dalam sudut. Atau menggunakan tiga huruf besar, satu huruf diletakan pada titik sudut dan dua huruf yang lain diletakan pada perpanjangan sinar-sinarnya. Berikut dua cara penamaan sudut.

                                                                                                  C

α                                                              B                                                                              

                                                                                                                                        A

Sudut di sebelah kiri adalah sudut α, sedagkan sudut di sebelah kanan adalah sudut ABC atau sudut CBA. Memberi nama sudut seperti yang di sebelah kanan hurup yang terletak pada titik sudut harus diletakan di tengah-tengah.

Notasi untuk sudut ABC dapat ditulis dengan < ABC.

4. Satuan Sudut                                                                 

Mengukur besar sebuah sudut dapat dilakukan dengan menggunakan satuan tidak baku atau satuan baku. Ukuran sudut dengan satuan tidak baku dapat menggunakan pojok atau sudut lain. Misalnya besar sudut ABC dua kali besar sudut PQR seperti  gambar di bawah ini.

                                             

                                        C                                                                                      R

     B                                                                                    Q

                                                     A                                                                                            P

Satuan sudut baku dikenal derajat dan radian. Satu derajat didefinisikan sama dengan satupertigaratus enam puluh putaran apabila titik ujung sebuah ruas garis diputar penuh dan ujung titik lainnya sebagai pusat putaran. Atau satu putaran sama dengan tiga ratus enam puluh derajat. Berikut gambar besar sudut NOP sama dengan 1 derajat atau satupertigaratus enam puluh putaran.

                               Q

 

                                                               P

     R                      OOOO O            N

                              

                               S

Juring NOP sama dengan 1/360 daerah lingkaran O, sehingga besar sudut NOP sama dengan 1/360 x 360ᴼatau besar sudut NOP = 1ᴼ. Untuk menentukan besar sebuah sudut dapat menggunakan alat yang disebut dengan busur derajat. Bentuk busur derajat adalah setengah lingkaran yang ditera menjadi 180 bagian yang sama. Berikut gambar busur derajat.

Selain derajat satuan sudut yang lain adalah radian. Besar sudut satu radian (1 rad) didefinisikan sama dengan besar sudut yang menghadapi tali busur dengan panjang r (jari-jari). Berikut gambar besar sudut 1 radian.

B

 

                                                                                              A                 

Dari gambar di atas panjang AO = OB = r = jari-jari lingkaran. Busur AB sama dengan r. Sehingga besar sudut AOB adalah 1 radian. Kita dapat mengkonversi besar sudut radian ke dalam derajat atau sebaliknya. Dari definisi sudut radian di atas, kita dapat menentukan besar sudut satu lingkaran penuh dalam satuan radian, yaitu keliling lingkaran (2πr) dibagai jari-jari lingkaran (r). Atau besar sudut satu lingkaran penuh dalam satuan radian adalah (2πr)/r = 2π. Sedangkan di depan kita sudah menentukan bahwa besar sudut satu lingkaran penuh dalam satuan derajat adalah 360ᴼ. Jadi 2π radian = 360ᴼ. atau 1 radian ≈ 57ᴼ.